שאלון 803 מועד 2016 קיץ א – תשע”ו – שאלה 4

אקס נמצא במכנה, ולכן אקס לא מוגדר באפס מיפני שאסור לבצע חילוק באפס.

אקס לא שווה לאפס

(1)

כדי למצוא נקודות הקיצון של הפונקציה נגזור את הפונקציה

פונקציה הנתונה:

כדי לגזור את הפונקציה ניתן להציג אותה בצורה הבאה:

נגזור את הפונקציה לפי חוקי הגזירה (להוסיף לינק לפוסט מפורת על חוקי גזירת הפונקציה)

(2)

נשווה לאפס – ככה נמצא את שיעור ה-X של נקודת הקיצון

(3)

את האקס שמצאנו בפעולה מס’ 1 , נציב למשוואה מקורית שנתונה ונקבל את שיעור ה-Y של נקודת הקיצון

פונקציה הנתונה:

מצאנו שתי נקודות

(6; 3) (-6; -1)

(4)

צריך לקבוע את סוג של נקודות הקיצון, להגדיר איזה נקודה מינימום ואזה נקודה מקסימום של הפונקציה.

עדיף להציג את הנתונים בטבלה:

Pic01

לנוחיות טבלה מסומנת עם מספרים בעמודה ראשונה מצד שמאל, ומספרים בשורה עליונה. ככה נוכל לרשום ולהסביר את כל המספר שנרשום בטבלה.

שורה מס 1 – נרשום ערך אקס שניקח מהתחום, כאשר נחשב את עליה או ירידה של הפונקציה

שורה מס’ 2 – כאן נרשום את כל הנקודות הקיצון שמצאנו בסעיפים הקודמים וגם את נקודות שפונקציה לא מוגדרת בהם.

שורה מס’ 3 – כאן נסמן את עליה או ירידה של הפונקציה

שורה מס’ 4 – נרשום את התוצאה שתתקבל כאשר נחשב נגזרת פונקציה בתחומים

סימנו את כול נקודות הקיצון פלוס נקודה שבה פונקציה לא מוגדרת

Pic02

נסמן את טווח של האקס בשורה מס’ 1

Pic03

נתונה פונקציה מקורית

נגזרת של הפונקציה

כדי למצוא עליה או ירידה של הפונקציה ניקח אקס מתחום הראשון שרשום בתא 1.2 אקס קטן ממינוס שש. לדוגמה X=-12- ונציב לנגזרת הפונקציה

נקבל תשובה חיובית ולכן הפונקציה עולה בטווח הזה. נסמן בטבלה:

Pic04

נחשב את התחום שמסומן בתא 1.4

אקח אקס שווה מינוס 3

התשובה שלילית ולכן פונקציה יורדת

Pic05

נקח תחום שרשום בתא מס’ 1.6. אקס שווה 3 לדוגמה

תשובה שלילית ולכן פונקציה יורדת

Pic06

תחום אחרות בתא 1.8, ניקח אקס שווה 12

תשובה חיובית ולכן פונקציה עולה בטווח הזה

Pic07

איך נדע האם זה נקודה מקסימום או מינימום?

כאשר פונקציה משנה את הסימן ממינוס לפלוס – זאת נקודת המינימום, כאשר הפונקציה משנה סימן מפלוס למינוס – זאת נקודת המקסימום

Pic08

תשובה סופית:

לפי עליות, ירידות של הפונקציה ונקודות הקיצון, ניתן לבחור את הגרף מס’ 4

מספר מתחת לשורש חייב להיות חיובי ולכן אין פתרון למשווה. זאת אומרת שישר Y=2 לא חותך את הפונקציה.

תשובות

א |  

ב |  נקודת הקיצון ברביע השלישי מקסימום (1-,6-)   נקודת הקיצון ברביע הראשון מינימום (3,6)

ג |  פונקציה עולה בתחום אקס גדול מ-6  ואקס קטן ממינוס 6.  פונקציה יורדת  

ד |  גרף מספר 4

ה |  תוכן השורש חייב להיות חיובי ולכן אין פתרון למשוואה. ישר נתון לא חותך את הגרף